Reikia pagalbos. Matematikos olimpiada 9-10 klasėms.

Sveiki, įkeliu 7 klausimus iš 3 metų kaupto. Dalį iš jų esu išsprendęs (ne iš eilės), tačiau vistiek būtų gerai pasitikrinti. Uždavinių yra pakankamai daug ir jie visi pakankamai sunkūs (bent jau man), todėl tikrai visų išspręsti neprašau.

1. Prisirinkę riešutų, iš miško poromis išeina vaikai. Kiekvienoje poroje yra mergaitė ir berniukas. Be to, kiekvienas berniukas turi dvigubai daugiau arba dvigubai mažiau riešutų nei jo porininkė mergaitė. Ar gali būti taip, kad iš viso vaikai turi 2009?

2. Su kuriomis a reikšmėmis lygtys x³ + ax + 1 = 0 ir x⁴ + ax² + 1 = 0 turi bendrą šaknį?

3. Raskite visus triženklius skaičius, kurie 12 kartų didesni už savo skaitmenų sumą.

4. Raskite mažiausią teigiamą skaičių x, su kurio teisinga nelygybė

[x]^.{x}>= 3.

P.S. Čia [x] žymi skaičiaus x sveikąją dalį, t.y. didžiausią sveiką skaičių, neviršijantį x; {x}=x-[x] - skaičiaus trupmeninė dalis. Pavyzdžiui, [2,7]= 2; {2,7} = 0,7; [-2,3]= -3; {-2,3} = 0,7.

5. Realieji skai2iai x ir y tenkina lygybes xy = 10 ir (x+1)(y+1) = 20. Kam lygi (x+2)(y+2) reikšmė?

6. Natūralusis skaičius n yra toks, kad n² + 26 dalijasi iš n + 2. Raskite a) bent du tokus natūraliuosius skaičius n; b) visus tokus natūraliuosius skaičius n.

7. Išspręskite lygčių sistemą.

x + xy + x² = 9,

y + xy + y² = -3.

Iš anksto dėkoju :). P.S. Jeigu sprendimo būdas tinka dviem klausimam galit tiesiog parašyti, jog sprendimas panašus į pvz.: 2 klausimo.

1. Negali, nes skaičius nesidalina iš trijų.

1. Negali, nes skaičius nesidalina iš trijų.

Ačiū!

6. a) du skaičiai: 1 ir 3.

3. Raskite visus triženklius skaičius, kurie 12 kartų didesni už savo skaitmenų sumą.

Gali susidaryt lygtį: 100a+10b+c=12(a+b+c)

88a=2b+11c

a, b,c yra nuo 1 iki 9

imi a=1

88=2b+11c

c=8, b=0

Gaunamas skaičius 108

bandom imt c mažesnį, 7 negalim imt, nesigaus lyginis skaičius

imam c=6

88=2b+66

b=11, bet jau nebetinka, nes a,b,c yra iki 9

toliau imam a=2

176=2b+11c

imam didžiausias galimas b ir c reikšmes, gaunam mažiau nei 176.

Vadinas skaičius 108 yra vienintelis tenkinantis sąlygas.

5.

Realieji skaičiai x ir y tenkina lygybes xy = 10 ir (x+1)(y+1) = 20. Kam lygi (x+2)(y+2) reikšmė?

(x+1)(y+1) = 20 susidaugini

xy+x+y+1=20

vietoj xy įstatom 10, gaunam

x+y=9

Tada (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4=xy+2(x+y) +4 =10 +2*9 +4=32

7.

iš pirmos išsikeli x, iš antros y. Skliausteliuose gauni tą patį, tada iš pirmos gali padalinti antrą lygtį, išsireiški x per y, įsistatai į kurią nors lygtį, gauni y, ir paskaičiuoji x :)

x(1+y+x)=9

y(1+x+y)=-3

x/y=-3

x=-3y

t.t.

gaunasi y=-1, x=3 ir y=3/2 x=-9/2

3. Raskite visus triženklius skaičius, kurie 12 kartų didesni už savo skaitmenų sumą.

 

Gali susidaryt lygtį: 100a+10b+c=12(a+b+c)

88a=2b+11c

 

a, b,c yra nuo 1 iki 9

 

imi a=1

88=2b+11c

c=8, b=0

Gaunamas skaičius 108

 

bandom imt c mažesnį, 7 negalim imt, nesigaus lyginis skaičius

imam c=6

88=2b+66

b=11, bet jau nebetinka, nes a,b,c yra iki 9

 

toliau imam a=2

176=2b+11c

imam didžiausias galimas b ir c reikšmes, gaunam mažiau nei 176.

 

Vadinas skaičius 108 yra vienintelis tenkinantis sąlygas.

 

 

5.

Realieji skaičiai x ir y tenkina lygybes xy = 10 ir (x+1)(y+1) = 20. Kam lygi (x+2)(y+2) reikšmė?

(x+1)(y+1) = 20 susidaugini

xy+x+y+1=20

vietoj xy įstatom 10, gaunam

x+y=9

 

Tada (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4=xy+2(x+y) +4 =10 +2*9 +4=32

 

 

7.

iš pirmos išsikeli x, iš antros y. Skliausteliuose gauni tą patį, tada iš pirmos gali padalinti antrą lygtį, išsireiški x per y, įsistatai į kurią nors lygtį, gauni y, ir paskaičiuoji x :)

 

x(1+y+x)=9

y(1+x+y)=-3

 

x/y=-3

x=-3y

 

t.t.

 

gaunasi y=-1, x=3 ir y=3/2 x=-9/2

Labai ačiū!