Matematikos uždavinys

Tunelio skersinis pjūvis yra stačiakampis, iš viršaus užbaigtas pusskrituliu. Koks turi būti pusskritulio spindulio ilgis, kad skersinio pjūvio plotas būtų didžiausias, jei žinoma, kad pjūvio perimetras lygys 20m?

Jei gerai supratau, tai tunelis yra pusės ritinio formos. O tai reiškia, kad pjūvis, kuris yra stačiakampis, bus tokių matmenų: bx2R. Kodėl 2R? Dėl to, kad R - pilno skritulio arba to paties pusės ritinio spindulys. Duota, kad P (perimetras) yra 20 m. O tai reiškia, kad 2(b+2R) = 20, b+2R = 10 arba b = 10-2R. Toliau plotas S = 2R*b = 2R*(10-2R). O maksimalų galimą plotą galima rasti, taikant išvestines:

S = 20R - 4R^2, S` = 20 - 8R. Toliau sprendžiame tiesinę lygtį 20 - 8R = 0, R = 20/8 = 2,5. Patikriname, ar 2,5 yra maksimumo taškas:

1. Jeigu imsime R < 2,5, tuomet 20 - 8R bus daugiau už 0, t.y. bus +.

2. Jeigu imsime R > 2,5, tuomet 20 - 8R bus mažiau už 0, t.y. bus -.

3. 1-2 pastebėjimai reiškia, kad R yra maksimumo taškas.

Taigi, atsakymas yra toks, kad spindulys turi būti 2,5 m.

Nežinau, ar teisingas čia, bet gal tinka (turint galvoj, kad čia natūriniai skaičiai):

http://imageshack.us/photo/my-images/401/21967411.png/

Turim, kad

2r + 2a + πr = 20

Išsivedam spindulį r:

r = (20 - 2a)/ (2 + π)

Viso skerspjūvio plotas yra:

S = (π*r^2)/2 + 2r*a

Įsistatom spindulį:

S = ( (20 - 2a)^2 )/( 2*(π+2)^2 ) + 4a(10 - a)/(2 + π)

Iš čia nagrinėjam taip: imam tik skaitiklius, nes vardikliai yra nekintantys dydžiai.

S' = (20 - 2a)^2 + 4a(10 - a) = 400 - 80a + 4a^2 + 40a - 4a^2 = -40a

Kadangi neigiamos 'a' reikšmės imt negalim, tai reikia žiūrėt su kuria teigiama reikšme -40a bus didžiausias. Tai yra 1.

Kai a = 1, tai r = (20 - 2)/ (2 + π) = 18/(2 + π)

Jei gerai supratau, tai tunelis yra pusės ritinio formos. O tai reiškia, kad pjūvis, kuris yra stačiakampis, bus tokių matmenų: bx2R. Kodėl 2R? Dėl to, kad R - pilno skritulio arba to paties pusės ritinio spindulys. Duota, kad P (perimetras) yra 20 m. O tai reiškia, kad 2(b+2R) = 20, b+2R = 10 arba b = 10-2R. Toliau plotas S = 2R*b = 2R*(10-2R). O maksimalų galimą plotą galima rasti, taikant išvestines:

S = 20R - 4R^2, S` = 20 - 8R. Toliau sprendžiame tiesinę lygtį 20 - 8R = 0, R = 20/8 = 2,5. Patikriname, ar 2,5 yra maksimumo taškas:

1. Jeigu imsime R < 2,5, tuomet 20 - 8R bus daugiau už 0, t.y. bus +.

2. Jeigu imsime R > 2,5, tuomet 20 - 8R bus mažiau už 0, t.y. bus -.

3. 1-2 pastebėjimai reiškia, kad R yra maksimumo taškas.

Taigi, atsakymas yra toks, kad spindulys turi būti 2,5 m.

Skersinis pjūvis atrodo taip:

http://imageshack.us...1/21967411.png/

reikia rasti skersinio pjūvio ploto priklausomybę nuo pusskritulio spindulio, tavo pateiktu sprendimu, kaip suprantu, randam tik stačiakampio ploto priklausomybę nuo pusskritulio spindulio.

Prie to pačio, kad naujos temos nekurti, gal galit man šį uždavinį padėt išspręsti:

Lygiašonės trapecijos šoninė kraštinė ir trumpesnysis pagrindas lygus 40cm. Koks turi būti ilgesnysis pagrindas, kad trapecijos plotis būtų didžiausias?

Čia per išvestines reikia eiti lyg ir susidarau lygti randu išvestinę, bet atsakymas nelogigiškas gaunasi...