Funkcijos liestinė

Po truputį bandau ruoštis matematikos VBE ir susidūriau su tokiu uždaviniu:

Įrodykite, kad bet kuri funkcijos f(x) = x^3 + 0.5x^2 + x - 3 grafiko liestinė kerta abscisių ašį.

Pagal idėją kiek suprantu reikia, kad liestinės lygtis turėtų tokį sprendinį, su kuriuo f-ja būtų lygi 0, esant bet kokiam lietimosi taškui.

Pasižymėjau lietimosi taško abscisę a.

Sustačiau liestinės lygtį:

y = (3a^2 + a + 1)(x - a) + a^3 +0.5 a^2 + a - 3

Susitvarkiau:

y = x(3a^2 + a + 1) - 2a^3 - 0.5a^2 - 3

Ir man nesusiprastina a narys.

Taigi, kaip reikėtų įrodyti šį uždavinį?

Gal ir ne taip suprantu, bet nereikia čia įrodyti, kad funkcija neturi kritinių taškų? Nes tik jei turi, liestinė bus lygiagreti abscisių ašiai.

Gal ir ne taip suprantu, bet nereikia čia įrodyti, kad funkcija neturi kritinių taškų? Nes tik tada liestinė bus lygiagreti abscisių ašiai.

Tai dvi lygiagrečios tiesės nesusikirs niekad gyvenime, o čia kaip tik reik įrodyt, kad bet kuri liestinė kerta Ox ašį.

Jeigu funkcija turi kritinį tašką, tada jos liestinė yra lygiagreti abscisių ašiai. Jeigu neturi tada liestinė bus pasvirusi ir kirs ašį. Išvestinė yra 3x^2 + x + 1. Kadangi D<0, nėra kritinių taškų, tai galioja ką sakiau. Kad geriau suprastum nusibrėžk parabolę, jos liestinė nekirs Ox ašies tik viršūnėje, tai yra kritiniame taške. Nors... nesu itin geras matematikas :D

Jeigu funkcija turi kritinį tašką, tada jos liestinė yra lygiagreti abscisių ašiai. Jeigu neturi tada liestinė bus pasvirusi ir kirs ašį. Išvestinė yra 3x^2 + x + 1. Kadangi D<0, nėra kritinių taškų, tai galioja ką sakiau. Kad geriau suprastum nusibrėžk parabolę, jos liestinė nekirs Ox ašies tik viršūnėje, tai yra kritiniame taške. Nors... nesu itin geras matematikas :D

Bet trečiojo laipsnio funkcija bent vieną kritinį tašką visada turi - persilenkimo taškas. Tai čia tada greičiausiai reikia įrodyti, jog f-ja neturi minimumo ir maksimumo, todėl niekada neegzistuos liestinė lygiagreti abscisių ašiai.

Dėkui, kad užvedei ant kelio :)

Em, o tai koks tas kritinis taškas? Nes aš tai jo niekaip nerasčiau. :huh: Ar tie kritiniai taškai yra, kai grafikas kerta x ašį? Kažkaip jau pasimečiau pats.

Em, o tai koks tas kritinis taškas? Nes aš tai jo niekaip nerasčiau. :huh: Ar tie kritiniai taškai yra, kai grafikas kerta x ašį? Kažkaip jau pasimečiau pats.

Kritinis taškas yra tada, kai f-kcijos išvestinė lygi 0 arba neegzistuoja.

Po truputį bandau ruoštis matematikos VBE ir susidūriau su tokiu uždaviniu:

 

 

 

Pagal idėją kiek suprantu reikia, kad liestinės lygtis turėtų tokį sprendinį, su kuriuo f-ja būtų lygi 0, esant bet kokiam lietimosi taškui.

 

Pasižymėjau lietimosi taško abscisę a.

 

Sustačiau liestinės lygtį:

 

y = (3a^2 + a + 1)(x - a) + a^3 +0.5 a^2 + a - 3

 

Susitvarkiau:

 

y = x(3a^2 + a + 1) - 2a^3 - 0.5a^2 - 3

 

Ir man nesusiprastina a narys.

 

Taigi, kaip reikėtų įrodyti šį uždavinį?

Aš kiek suprantu, tiesiog reikia įrodyti, kad funkcijos liestinių krypties keoficientai niekada nebūna lygus 0,(y = (3a^2 + a + 1)(<== čia yra k)(x - a) + a^3 +0.5 a^2 + a - 3 ) tai reiškia tiesė visada pasvirusi kažkokiu kampu ir kerta abscisių ašį. (K = f'(x)=Tg(alfa))

f'(a) =(3a^2 + a + 1), su visom reikšmėmis nekerta x ašies, t.y. nelygu 0, nes 3a^2 + a + 1 = 0 DISKRIMINANTAS yra neigiamas.

Reiškia betkurios funkcijos liestinės krypties koeficientas nebus lygus 0.

Įrodyta :)

Plačiau -

abscisių ašies funkcija y = 0, jos k = 0. K1=K1 tiesių lygegretumo požymis, reiškia reikėjo įrodyti, kad tos funkcijos liestinių K niekada nėra lygus abscisių ašies K.

Tinka ir s2pd sprendimas. K = vidutinis funkcijos greitis taške. Funkcijos greitis būna lygus 0 tiktai išvestinės kritiniuose taškuose, deja ji tokiu neturi - D<0, egzistuoja su visom reikšmėm :)

p.s. į google įsivesk tą trečio laipsnio funkciją, kur duota ir priartink iki nanometrų, pamatysi, kad jį persilenkia, bet labai palaipsniui(jokiam taške nebus lygiagreti liestinė), gali palyginti su kokiu x^2 persilenkimu :D