Atostogų užduotis

Sveiki , pradėjau daryt per atostogas užduotus darbus ir niekaip negaliu padaryti vieno uždavinuko:

Įrodyti, kad iš visų duoto perimetro stačiakampių didžiausią plotą turi kvadratas.

Viskas čia būtų aišku: suskaičiuoji išvestinę , kritiniai taškai , ekstremumo taškai ir padaryta, tačiau kaip reiktų įrodyti?? Kaip suprantu negalima naudoti jokių skaičių?

Ačiū už pagalbą.

Leisiu sau pabūti Captain Obvious ir pasakysiu: vietoj skaičių statyk tarkim x arba y.

Leisiu sau pabūti Captain Obvious ir pasakysiu: vietoj skaičių statyk tarkim x arba y.

Na gerai vietoj vienos krastinės x , kitos - y , o kaip juos išsireikšt vienas per kitą?

Perimetras P.

Tarkim p = P/4 (t.y. ketvirtadalis perimetro).

Jei viena kraštinė už kitą aukštesnė x,

išeina, kad viena kraštinė yra p/4 - x/2, o kita p/4 + x/2.

Plotas (p/4 - x/2)*(p/4 + x/2) = (p/4)^2 - (x/2)^2.

Dabar jau aišku, kuris stačiakampis bus didžiausio ploto: toks, kur x = 0, t.y. kraštinės nesiskiria.

per perimetra siulyciau ;)

P = 2(x+y) = 2x + 2y

jei x - ilgis

tai y - plotis bus lygus P - 2x vadinas y = (P - 2x)/2

p-perimetras, x - viena krastine

y = (p-2x)/2= p/2-x

S(x)=(p/2-x)x

p-perimetras, x - viena krastine

y = (p-2x)/2= p/2-x

 

S(x)=(p/2-x)x

Tai tada

S'(x)=1/2P - 2x ;

kritiniai taškai:

2x=1/2P

x=P/4

O kaip įrodyt, kad tai maximumo taškas , o ne minimumo? :D

Edit: Viskas gerai , dėkui už pagalbą.

gali patikrint isvestine kairej ir desinej pusej nuo ekstremumo

Tai tada

S'(x)=1/2P - 2x ;

kritiniai taškai:

2x=1/2P

x=P/4

O kaip įrodyt, kad tai maximumo taškas , o ne minimumo? :D

Edit: Viskas gerai , dėkui už pagalbą.

nu tai tada isvestine padaryk p/2-2x > 0, tada iseis kad iki p/4 plotas dideja